Đặc trưng Euler χ {\displaystyle \chi } được định nghĩa cổ điển cho các khối đa diện lồi, theo công thức

χ = V − E + F {\displaystyle \chi =V-E+F\,\!}

Kết quả này được gọi là công thức đa diện Euler hoặc định lý đa diện Euler. Đặc trưng Euler cho hình cầu (tức χ = 2), và áp dụng giống với khối đa diện hình cầu. Minh họa cho công thức trên một số khối đa diện được đưa ra dưới đây.

Trong đó V, E và F tương ứng là số đỉnh (góc), các cạnh và mặt trong đa diện nhất định. Bất kỳ bề mặt đa diện lồi của Euler có đặc trưng

χ = V − E + F = 2. {\displaystyle \chi =V-E+F=2.\,\!}

Tên	Hình ảnh	Đỉnh V	Cạnh E	Mặt F	Đặc trưng Euler: V − E + F
Tứ diện		4	6	4	2
Lục diện hoặc hình lập phương		8	12	6	2
Bát diện		6	12	8	2
Thập nhị diện		20	30	12	2
Nhị thập diện		12	30	20	2

Bề mặt của khối đa diện không lồi có thể có những đặc trưng Euler khác nhau;

Tên	Hình	Đỉnh V	Cạnh E	Mặt F	Đặc trung Euler: V − E + F
Tetrahemihexahedron		6	12	7	1
Octahemioctahedron		12	24	12	0
Cubohemioctahedron		12	24	10	−2
Great icosahedron		12	30	20	2

Đối với các khối đa diện bình thường, Arthur Cayley thu được một dạng biến đổi của công thức Euler bằng cách sử dụng mật độ của khối đa diện D, số đỉnh d v {\displaystyle d_{v}} và mặt d f {\displaystyle d_{f}} :

d v V − E + d f F = 2 D . {\displaystyle d_{v}V-E+d_{f}F=2D.}

Phiên bản này giữ cho cả hai khối đa diện lồi (nơi mật độ là tất cả 1), và không lồi đa diện Kepler-Poinsot:

Tất cả các Đa diện xạ ảnh đều có đặc trưng Euler bằng 1, tương ứng với mặt phẳng xạ ảnh thực, trong khi khối đa diện hình xuyến đều có đặc trưng Euler bằng 0, tương ứng với hình xuyến.

Đồ thị phẳng

Các đặc trưng Euler có thể được xác định cho đồ thị phẳng liên thông bằng cách cùng công thức V − E + F {\displaystyle V-E+F} như cho các bề mặt đa diện, nơi F là số lượng mặt trong đồ thị, bao gồm cả các mặt bên ngoài.

Đặc trưng Euler của bất kỳ đồ thị phẳng liên thông G là 2. Điều này có thể dễ dàng chứng minh bằng trực quan về số lượng k mặt được xác định bởi G, bắt đầu với một cây như trường hợp cơ sở. Đối với cây, E = V-1 và F = 1. Nếu G có thành phần bù C, cùng tranh luận bằng trực quan trên F cho thấy rằng V − E + F − C = 1 {\displaystyle V-E+F-C=1} . Một trong số ít các lý thuyết đồ thị của Cauchy cũng chứng minh kết quả này

Chứng minh công thức Euler

Các bước chứng minh cho hình lập phương.

Có nhiều cách chứng minh cho công thức Euler. Trong số đó do Cauchy đưa ra vào năm 1811, như sau: Chúng minh áp dụng cho bất kỳ đa diện lồi, và nói chung cho bất kỳ đa diện có biên tương đương hình học với một mặt cầu và các mặt đa diện có tương đương tô pô với đĩa phẳng.

Xóa một mặt của bề mặt đa diện. Bằng cách kéo các cạnh của mặt mất tích xa nhau, biến dạng tất cả các phần còn lại thành một đồ thị phẳng của các điểm và các đường cong, được minh họa bằng hình đầu tiên của ba đồ thị cho các trường hợp đặc biệt của khối lập phương. (Giả sử rằng bề mặt đa diện đồng phôi với mặt cầu ngay từ đầu.Sau khi biến dạng này, những mặt chính tắc nói chung là không chính tắc nữa. Số đỉnh và cạnh vẫn như cũ, nhưng số lượng các mặt đã được giảm 1. Do đó, chứng minh công thức Euler cho đa diện giảm để chứng minh V − E + F = 1 {\displaystyle V-E+F=1} cho này bị biến dạng, đối tượng phẳng.

Nếu có một mặt với hơn ba bên, vẽ một đường chéo-có nghĩa là, một đường cong qua mặt kết nối hai đỉnh mà chưa được kết nối. Này cho biết thêm một cạnh và một mặt và không thay đổi số đỉnh, do đó, nó không thay đổi số lượng V − E + F {\displaystyle V-E+F} . (Giả định rằng tất cả các mặt đĩa cần thiết ở đây, để hiển thị thông qua định lý đường cong Jordan rằng hoạt động này làm tăng số lượng mặt lên một.) Tiếp tục bổ sung các cạnh theo cách này cho đến khi tất cả các mặt có hình tam giác.

Áp dụng nhiều lần một trong hai biến đổi sau đây, duy trì bất biến mà ranh giới bên ngoài luôn luôn là một chu kỳ đơn giản:

1. Xóa một hình tam giác với một cạnh tiếp giáp với bên ngoài, được minh họa bằng đồ thị thứ hai. Điều này làm giảm số cạnh và mặt của mỗi khối và không làm thay đổi số đỉnh, vì vậy nó bảo toàn V − E + F {\displaystyle V-E+F} .
2. Xóa một hình tam giác với hai cạnh chia bởi các bên ngoài của mạng, được minh họa bằng đồ thị thứ ba. Mỗi tam giác bị xoá tức là bỏ đi một đỉnh, hai cạnh và một mặt, vì vậy nó bảo toàn V − E + F {\displaystyle V-E+F} .

Những biến đổi cuối cùng giảm đồ thị hai chiều để một hình tam giác đơn. (Nếu không có sự đơn giản chu kỳ bất biến, loại bỏ một hình tam giác có thể ngắt kết nối hình tam giác còn lại, vô hiệu các phần còn lại của các đối số một để loại bỏ hợp lệ là một ví dụ cơ bản của một bắn phá..)

Tại thời điểm này hình tam giác đơn độc có V = 3, E = 3, và F = 1, do đó V − E + F = 1 {\displaystyle V-E+F=1} . Kể từ khi một trong hai bước chuyển đổi trên bảo quản số lượng này, chúng tôi đã cho thấy V − E + F = 1 {\displaystyle V-E+F=1} cho biến dạng, đối tượng phẳng như vậy, thể hiện V − E + F = 2 {\displaystyle V-E+F=2} cho đa diện. Điều này chứng minh định lý.

Để chứng minh thêm, xem Twenty Proofs of Euler's Formula của David Eppstein. Nhiều bằng chứng, trong đó có sai sót và hạn chế của họ, được sử dụng như ví dụ trong Proofs and Refutations của Imre Lakatos.[1]